मान लीजिए कि f, g: R rightarrow R इस प्रकार प | vedclass

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Question

(A) हमें $f(x) = |x-1|$ और $g(x) = \begin{cases} e^x, & x \geq 0 \ x+1, & x \leq 0 \end{cases}$ दिया गया है।$f(g(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $g(x)$ को

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न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

Vedclass · Answer

(A) हमें $f(x) = |x-1|$ और $g(x) = \begin{cases} e^x, & x \geq 0 \ x+1, & x \leq 0 \end{cases}$ दिया गया है।$f(g(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $g(x)$ को $f(x)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:$f(g(x)) = |g(x) - 1| = \begin{cases} |e^x - 1|, & x \geq 0 \ |(x+1) - 1|, & x \leq 0 \end{cases} = \begin{cases} e^x - 1, & x \geq 0 \ |x|, & x \leq 0 \end{cases} = \begin{cases} e^x - 1, & x \geq 0 \ -x, & x \leq 0 \end{cases}$.अब,मान लीजिए $h(x) = f(g(x))$ है।$x \geq 0$ के लिए,$h(x) = e^x - 1$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$h(x)$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है।$x \leq 0$ के लिए,$h(x) = -x$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $-\infty$ तक घटता है,$h(x)$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है।चूंकि $h(x)$ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों $x$ के लिए समान धनात्मक मान लेता है (उदाहरण के लिए,$h(1) = e-1$ और $h(-(e-1)) = e-1$),इसलिए फलन एकैकी नहीं है।चूंकि $h(x)$ का परिसर $[0, \infty)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।अतः,फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

मान लीजिए कि $f, g: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित हैं: $f(x)=|x-1|$ और $g(x)=\begin{cases} e^x, & x \geq 0 \\ x+1, & x \leq 0 \end{cases}$। तो फलन $f(g(x))$ है

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